Le 24-puzzle est ce qu’on obtient en prenant le 15-puzzle et en ajoutant une rangée et une colonne. Vingt-quatre tuiles numérotées sur un 5×5, une case vide, la même règle : glisser des tuiles voisines dans le trou jusqu’à mettre les nombres en ordre.
C’est l’étape suivante évidente après 4×4 — et c’est sincèrement un autre jeu.
L’arithmétique d’« un plateau plus grand »
L’espace d’états explose :
| Plateau | Cases | Tuiles | États atteignables | Solution la pire |
|---|---|---|---|---|
| 3×3 (8-puzzle) | 9 | 8 | 181 440 | 31 coups |
| 4×4 (15-puzzle) | 16 | 15 | ~10,46 × 10¹² | 80 coups |
| 5×5 (24-puzzle) | 25 | 24 | ~7,76 × 10²⁴ | 152 coups |
| 6×6 (35-puzzle) | 36 | 35 | ~1,86 × 10⁴¹ | ~245 coups |
Chaque palier élève à peu près au carré l’espace d’états. Le 24-puzzle le plus dur demande presque le double de coups du 15-puzzle le plus dur — et c’est la valeur optimale. Un humain avec la méthode rangée-et-colonne fait plutôt 200 à 300 coups.
Temps à la main
Un joueur sûr de lui qui maîtrise le 15-puzzle tient en général 10 à 20 minutes sur ses premiers 24-puzzles. À la dixième partie, la même personne descend à 6–10 minutes.
La stratégie est la même que sur les plus petits : rangée du haut, colonne de gauche, récursion sur le sous-puzzle plus petit. La nuance, c’est qu’il faut le faire deux fois : rangée 1 et colonne 1, puis rangée 2 et colonne 2 du 4×4 restant, puis le 3×3 intégré. Chaque pelure d’oignon utilise la manœuvre d’angle en L.
Ce qui devient plus dur
Deux choses concrètes passent mal à l’échelle :
Charge de mémoire de travail. En 3×3, on suit un objectif stratégique à la fois. En 5×5, on jongle : « je place le 5 dans le coin haut-droit » tout en évitant de toucher 1–4 et de se piéger dans un angle. La charge cognitive monte.
La manœuvre en L s’allonge. En 3×3, placer la dernière tuile de la rangée du haut prend environ 5 sous-coups. En 5×5, le même tour dure 10–12 sous-coups et descend deux cases plus bas. Les débutants cassent souvent une rangée déjà figée parce qu’ils n’ont pas mesuré la portée du tour.
Ce qui ne change pas
Étonnamment beaucoup. Le motif stratégique est exactement celui du jeu 3×3. La fin de partie — un 3×3 récursif — est identique. Si on connaît les petits plateaux, le 5×5 est une version longue du connu, pas un autre jeu.
Cette cohérence récursive est l’une des raisons pour lesquelles les mathématiciens apprécient la famille des taquins : la même réduction marche à toutes les tailles.
Pourquoi les solveurs trébuchent ici
Pour résoudre par ordinateur de façon optimale, c’est au 24-puzzle que la distance de Manhattan ne suffit plus. A* et IDA* avec Manhattan résolvent un 15-puzzle en secondes mais dépassent l’heure sur les 24-puzzles les plus durs.
La solution, trouvée par Korf et Felner au début des années 2000, ce sont les bases additives de motifs : on précalcule le coût optimal pour permuter des sous-ensembles de tuiles (la partition 5+5+5+9 est courante), puis à la recherche on additionne. Avec une bonne partition, un 24-puzzle se résout en secondes, même optimalement. Détails dans le guide du solveur du 15-puzzle.
Territoire Premium
Dans la plupart des apps, le 5×5 est derrière un paywall. La raison est simple : il produit des sessions bien plus longues que le 3×3 ou le 4×4, donc les apps le traitent comme une « valeur ajoutée », pas comme une feature gratuite. Slide Puzzle fait pareil — le 5×5 fait partie de Premium, avec le 6×6 et l’import illimité de photos.
Ce mur n’est pas méchant. Le 5×5, c’est une autre expérience — une longue soirée tranquille avec un seul plateau — et c’est plus coûteux à livrer (visuels plus nets, algos plus prudents sur la solvabilité).
Quand jouer au 24-puzzle
Un plateau 5×5 est pour les soirées où on veut rester assis quinze minutes et ne penser à rien d’autre. Pas pour le bus, pas pour la file d’attente, pas pour la bouilloire. Pour après la bouilloire.
C’est aussi la taille où les puzzles photo deviennent exigeants : la photo doit rester lisible à 25 morceaux, et beaucoup de photos par ailleurs bonnes s’y cassent. Le 24-puzzle m’a appris quelles photos marchent.
Si le 15-puzzle vous paraît rapide, c’est l’étape suivante. Si le 5×5 vous paraît long, le 35-puzzle (6×6) est celui d’après.