Il 24-puzzle è ciò che ottieni quando prendi il 15-puzzle e aggiungi una riga e una colonna. Ventiquattro tessere numerate su una griglia 5×5, una casella vuota, la stessa regola: far scorrere le tessere vicine nel vuoto finché i numeri non sono in ordine.
È il passo ovvio dopo il 4×4 — ed è genuinamente un gioco diverso.
L’aritmetica di "una griglia più grande"
Lo spazio degli stati esplode:
| Griglia | Caselle | Tessere | Stati raggiungibili | Soluzione più difficile |
|---|---|---|---|---|
| 3×3 (8-puzzle) | 9 | 8 | 181.440 | 31 mosse |
| 4×4 (15-puzzle) | 16 | 15 | ~10,46 × 10¹² | 80 mosse |
| 5×5 (24-puzzle) | 25 | 24 | ~7,76 × 10²⁴ | 152 mosse |
| 6×6 (35-puzzle) | 36 | 35 | ~1,86 × 10⁴¹ | stimate 245 mosse |
Ogni passo eleva al quadrato circa lo spazio degli stati. Il 24-puzzle più difficile richiede quasi il doppio delle mosse del 15-puzzle più difficile — e quello è il numero di mosse ottimale. Un essere umano che usa il metodo riga-e-colonna ne usa tipicamente 200–300.
Tempo di soluzione, a mano
Un risolutore sicuro che ha padroneggiato il 15-puzzle di solito impiega 10–20 minuti per un 24-puzzle ai primi tentativi. Entro la decima partita, la stessa persona è sui 6–10 minuti.
La strategia è la stessa delle griglie più piccole: risolvi la riga in alto, risolvi la colonna a sinistra, ricorri nel sotto-puzzle più piccolo. Il trucco è che ora lo fai due volte: risolvi riga 1 e colonna 1, poi risolvi riga 2 e colonna 2 del 4×4 rimanente, poi risolvi il 3×3 incorporato. Ogni strato della cipolla usa la manovra a L dell’angolo.
Cosa diventa più difficile
Due cose specifiche scalano male:
Carico sulla memoria di lavoro. Su un 3×3 tieni traccia di un solo obiettivo strategico alla volta. Su un 5×5 stai destreggiando "sto cercando di piazzare 5 in alto a destra" mentre non disturbi le tessere 1‑4 e non ti chiudi in un angolo. Il carico cognitivo cresce.
La "manovra a L" si allunga. Su un 3×3, mettere l’ultima tessera della riga in alto nell’angolo richiede circa 5 sotto-mosse. Su un 5×5 lo stesso trucco richiede 10–12 sotto-mosse ed è profondo due caselle. I nuovi risolutori spesso disturbano una riga che avevano bloccato perché non hanno considerato fin dove arriva la manovra.
Cosa rimane uguale
Sorprendentemente molto. Lo schema della strategia è esattamente quello del gioco 3×3. L’endgame — un 3×3 ricorsivo — è identico. Se conosci le griglie più piccole, il 5×5 è una versione più lunga di quello che già sai, non un puzzle diverso.
Quella consistenza ricorsiva è parte del motivo per cui i matematici amano la famiglia dei puzzle scorrevoli: la stessa riduzione riga-e-colonna funziona a ogni dimensione.
Perché i risolutori faticano qui
Per la risoluzione ottimale al computer, il 24-puzzle è il punto in cui la distanza di Manhattan smette di essere sufficiente. A* e IDA* con distanza di Manhattan possono risolvere qualsiasi 15-puzzle in secondi ma vanno in timeout sui 24-puzzle più difficili in ore.
La soluzione, trovata da Korf e Felner nei primi anni 2000, sono i database di pattern additivi: precalcola il costo ottimale di permutare sottoinsiemi di tessere (diciamo 5+5+5+9), poi somma i costi dei sottoinsiemi al momento della ricerca. Con una partizione ben scelta, qualsiasi 24-puzzle si risolve in secondi anche in modo ottimale. I dettagli completi vivono nella guida al risolutore del 15-puzzle.
Territorio Premium
Nella maggior parte delle app, il 5×5 sta dietro un paywall. Il motivo è semplice: genera sessioni molto più lunghe del 3×3 o del 4×4, quindi le app lo trattano come un "valore aggiunto" piuttosto che una funzione del livello gratuito. Slide Puzzle è lo stesso — il 5×5 fa parte di Premium, insieme al 6×6 e all’importazione illimitata di foto.
Quel gating non è dannoso. Il 5×5 è un tipo diverso di esperienza — una serata lunga e tranquilla con una singola griglia — e costa di più da spedire (l’artwork deve essere più nitido, gli algoritmi devono essere più attenti alla risolvibilità).
Quando giocare al 24-puzzle
Una griglia 5×5 è per quel tipo di serata in cui vuoi stare fermo per quindici minuti e non pensare ad altro. Non è per l’autobus, non per la coda, non per il bollitore. È per dopo il bollitore.
È anche la dimensione in cui i puzzle scorrevoli fotografici diventano esigenti: la foto deve essere leggibile a una granularità di 25 pezzi, e molte foto altrimenti buone si sfaldano. Il 24-puzzle è la dimensione che mi ha insegnato quali foto funzionano e quali no.
Se i 15-puzzle sembrano veloci, questo è il passo successivo. Se il 5×5 sembra lungo, il 35-puzzle — 6×6 — è quello dopo.