24パズルは15パズルに行と列を1つずつ追加したものだ。5×5の盤面に24枚の番号付きタイルと1つの空きマス。ルールは同じ：隣接するタイルをすき間にスライドして、数字が順番になるようにする。
4×4の次の一歩として当然のサイズだが、これは本当に別のゲームだ。
「1サイズ大きい盤面」の算数
状態空間は爆発的に増加する：
| 盤面 | マス数 | タイル数 | 到達可能な状態数 | 最難解法 |
|---|---|---|---|---|
| 3×3（8パズル） | 9 | 8 | 181,440 | 31手 |
| 4×4（15パズル） | 16 | 15 | ~10.46×10¹² | 80手 |
| 5×5（24パズル） | 25 | 24 | ~7.76×10²⁴ | 152手 |
| 6×6（35パズル） | 36 | 35 | ~1.86×10⁴¹ | 推定245手 |
各ステップで状態空間はおよそ二乗される。最難関の24パズルは最難関の15パズルのほぼ2倍の手数が必要で、しかもそれは最適な手数だ。行と列の方法を使う人間は通常200〜300手かかる。
手動での解法時間
15パズルをマスターした自信のある解者は、初挑戦では通常10〜20分かかる。10回目のゲームには同じ人が6〜10分程度になる。
戦略は小さい盤面と同じだ：上の行を解き、左の列を解き、小さな部分パズルに再帰する。コツは、これを2回行うことだ：第1行と第1列を解き、次に残った4×4の第2行と第2列を解き、埋め込まれた3×3を解く。各「玉ねぎの皮むき」にL字形コーナーマヌーバーを使う。
難しくなる点
2つの特定の点でスケールが悪い：
ワーキングメモリの負荷。 3×3では1つの戦略目標を一度に追う。5×5では「上段右角に5を置こうとしている」ことを念頭に置きながら、タイル1〜4を乱さず、自分が行き詰まらないようにしなければならない。認知的負荷が増大する。
「L字形マヌーバー」が伸びる。 3×3では、上段の最後のタイルを角に置くのに約5手の補助手が必要だ。5×5では同じトリックが10〜12手かかり、2マス分の深さになる。新しい解者は、マヌーバーがどこまで及ぶかを考慮せずに、すでにロックした行を乱してしまうことが多い。
変わらない点
驚くほど多くが変わらない。戦略のパターンは3×3のゲームとまったく同じだ。エンドゲーム — 再帰的な3×3 — は同一だ。小さい盤面を知っていれば、5×5は別のパズルではなく、すでに知っているものの長いバージョンだ。
その再帰的な一貫性が、数学者がスライドパズルファミリーを好む理由の一つだ。同じ行と列の帰着がすべてのサイズで機能する。
コンピュータがここで苦労する理由
コンピュータによる最適解法では、24パズルはマンハッタン距離が十分でなくなるサイズだ。マンハッタン距離を使ったAとIDAは、どんな15パズルも数秒で解けるが、最難関の24パズルでは何時間もかかってタイムアウトする。
解決策は、2000年代初頭にKorfとFelnerが見つけた加算型パターンデータベースだ：タイルのサブセット（例：5+5+5+9）の置換の最適コストを事前計算し、探索時にサブセットコストを足す。うまく選んだ分割で、最適解でも24パズルが数秒で解ける。詳細は15パズルソルバーガイドにある。
プレミアムの領域
ほとんどのアプリでは、5×5は有料機能の後ろに置かれている。理由は単純だ：3×3や4×4より大幅に長いセッションを生み出すので、アプリは無料機能ではなく「付加価値」として扱う。Slide Puzzleも同様 — 5×5はプレミアムの一部で、6×6と無制限の写真インポートと一緒だ。
これは悪意があるわけではない。5×5は別の体験 — 1枚の盤面に15分間じっと集中する、静かな夜 — であり、提供するのにコストがかかる（アートワークをより鮮明にする必要があり、アルゴリズムは解ける保証についてより慎重である必要がある）。
24パズルをいつ遊ぶか
5×5の盤面は、15分間じっと座って他のことを考えたくない夜のためのものだ。バスでも、列に並んでいるときでも、やかんを待っているときでもない。やかんの後に遊ぶものだ。
また、フォトスライドパズルが難しくなるサイズでもある：写真は25ピースの粒度で読み取れる必要があり、そうでなければ良い写真でも崩れてしまう。24パズルは、どの写真がうまくいってどれがうまくいかないかを教えてくれたサイズだ。
15パズルが早く感じるなら、次のステップがこれだ。5×5が長く感じるなら、35パズル — 6×6 — がその次だ。