O 24-puzzle é o que se obtém quando se pega no 15-puzzle e se lhe acrescenta uma linha e uma coluna. Vinte e quatro peças numeradas num tabuleiro 5×5, uma célula vazia, a mesma regra: faz-se deslizar peças vizinhas para o espaço vazio até os números ficarem em ordem.
É o passo óbvio depois do 4×4 — e é genuinamente um jogo diferente.
A aritmética de "um tabuleiro maior"
O espaço de estados explode:
| Tabuleiro | Células | Peças | Estados alcançáveis | Resolução mais difícil |
|---|---|---|---|---|
| 3×3 (8-puzzle) | 9 | 8 | 181 440 | 31 movimentos |
| 4×4 (15-puzzle) | 16 | 15 | ~10,46 × 10¹² | 80 movimentos |
| 5×5 (24-puzzle) | 25 | 24 | ~7,76 × 10²⁴ | 152 movimentos |
| 6×6 (35-puzzle) | 36 | 35 | ~1,86 × 10⁴¹ | est. 245 movimentos |
Cada passo eleva ao quadrado, grosso modo, o espaço de estados. O 24-puzzle mais difícil exige quase o dobro dos movimentos do 15-puzzle mais difícil — e isso é o número ótimo. Um humano com o método de linhas e colunas usa tipicamente 200–300 movimentos.
Tempo de resolução, à mão
Um solver confiante que domine o 15-puzzle leva habitualmente 10–20 minutos num 24-puzzle nas primeiras tentativas. Ao décimo jogo, a mesma pessoa anda nos 6–10 minutos.
A estratégia é a mesma dos tabuleiros menores: resolver a linha de cima, resolver a coluna da esquerda, recorrer no subpuzzle menor. O truque é que agora se faz isto duas vezes: resolver linha 1 e coluna 1, depois resolver linha 2 e coluna 2 do 4×4 restante, depois resolver o 3×3 embebido. Cada descasque da cebola usa a manobra em L do canto.
O que se complica
Duas coisas, em particular, escalam mal:
Carga sobre a memória de trabalho. Num 3×3, segue-se um objetivo estratégico de cada vez. Num 5×5 está-se a malabarizar "estou a tentar colocar o 5 no canto superior direito" sem mexer nas peças 1‑4 e sem se encurralar num canto. A carga cognitiva cresce.
A "manobra em L" estica-se. Num 3×3, pôr a última peça da linha de cima no canto requer cerca de 5 sub-movimentos. Num 5×5, o mesmo truque exige 10–12 sub-movimentos e abrange duas células de profundidade. Solvers novos perturbam frequentemente uma linha já travada porque não contam com o alcance da manobra.
O que se mantém
Surpreendentemente, muito. O padrão de estratégia é exatamente o mesmo do jogo 3×3. O endgame — um 3×3 recursivo — é idêntico. Se conhecer os tabuleiros menores, o 5×5 é uma versão mais longa do que já sabe, não um puzzle diferente.
Essa consistência recursiva é parte do que faz os matemáticos gostarem da família dos quebra-cabeças deslizantes: a mesma redução linha-coluna funciona em todos os tamanhos.
Por que os solvers sofrem aqui
Para resolução ótima por computador, o 24-puzzle é onde a distância de Manhattan deixa de ser suficiente. O A* e o IDA* com Manhattan resolvem qualquer 15-puzzle em segundos, mas expiram nos 24-puzzles mais difíceis ao fim de horas.
A solução, encontrada por Korf e Felner no início dos anos 2000, foram as bases de padrões aditivas: pré-computa-se o custo ótimo de permutar subconjuntos de peças (digamos, 5+5+5+9) e somam-se os custos dos subconjuntos no momento da busca. Com uma boa partição, qualquer 24-puzzle resolve-se em segundos mesmo em otimalidade. Os detalhes completos estão no guia do solver do 15-puzzle.
Território Premium
Na maioria das apps, o 5×5 fica atrás de um paywall. A razão é simples: gera sessões muito mais longas do que o 3×3 ou o 4×4, pelo que as apps o tratam como "valor acrescentado" em vez de funcionalidade gratuita. O Slide Puzzle não é diferente — o 5×5 faz parte do Premium, juntamente com o 6×6 e a importação ilimitada de fotos.
Esse fechamento não é malicioso. O 5×5 é um tipo diferente de experiência — uma noite longa e tranquila com um único tabuleiro — e dá mais trabalho de produzir (a arte tem de ser mais nítida, os algoritmos têm de ser mais cuidadosos com a solubilidade).
Quando jogar o 24-puzzle
Um tabuleiro 5×5 é para o tipo de noite em que se quer estar quieto durante quinze minutos a pensar em mais nada. Não é para o autocarro, nem para a fila, nem para a chaleira. É para depois da chaleira.
É também o tamanho em que os quebra-cabeças de foto se tornam exigentes: a foto tem de ser legível à granularidade de 25 peças, e muitas fotos boas falham aí. O 24-puzzle é o tamanho que me ensinou que fotos funcionam e quais não.
Se os 15-puzzles parecerem rápidos, este é o próximo passo. Se o 5×5 parecer longo, o 35-puzzle — 6×6 — é o seguinte a este.