Hay un único método para resolver puzzles deslizantes a mano. No depende del tamaño. Una vez lo tienes en 3×3, lo tienes también en 4×4, 5×5, 6×6 y cualquier tamaño mayor. Este es el método.
El plan
Para un puzzle N×N:
- Resuelve la fila 1 — coloca las fichas 1, 2, …, N en la fila superior.
- Resuelve la columna 1 — coloca las fichas N+1, 2N+1, … en la primera columna debajo de la fila 1.
- Ahora tienes un puzzle (N−1)×(N−1). Recursión.
- Caso base — al llegar a un 2×2, las fichas restantes están en su sitio o requieren un chequeo de paridad.
Ese es el algoritmo entero. Tres frases. El resto es mecánica.
La mecánica: esquinas
Colocar las primeras fichas de una fila o columna es fácil. El truco es colocar la última — la de la esquina.
Para la esquina superior derecha de la fila 1 (ficha N en un puzzle N×N):
- No intentes deslizar la ficha N a la esquina directamente. No se quedará.
- Coloca primero la ficha previa (N−1) en la esquina.
- Coloca la ficha N justo debajo de N−1.
- Ahora rota el par: lleva el hueco a la esquina (desplazando N−1), desliza N−1 abajo-y-a-la-izquierda, desliza N arriba a la esquina, desliza N−1 a la derecha.
El efecto: N−1 y N quedan en su sitio sin desordenar nada a su izquierda.
Esta es la maniobra en L de la esquina. El mismo truco, reflejado, funciona en la esquina inferior izquierda de la columna 1.
Si solo te quedas con una pieza de técnica de deslizante, quédate con esta. Todo lo demás se deriva.
La mecánica: medio
Para el interior de una fila (fichas 1 a N−2 de la fila superior), la colocación es directa:
- Encuentra la ficha que quieres.
- Llévala a una posición adyacente a su destino.
- Usa el hueco para meterla en su sitio.
Quizás tengas que apartar otras fichas no colocadas. Está bien — no están colocadas. Mientras no toques las ya colocadas a la izquierda, la fila se construye limpiamente.
La regla que te mantiene a salvo: nunca dejes que el hueco cruce una ficha colocada. Si el hueco tiene que ir de la derecha del tablero a la izquierda de una ficha colocada, ruta el hueco alrededor a través de celdas no colocadas.
Por qué «fila, luego columna»
Dos razones:
- Simetría especular. La maniobra de esquina de fila y la de columna son exactamente el mismo truco, reflejado. Aprender uno enseña el otro.
- El hueco tiene espacio para trabajar. Tras resolver la fila 1, el hueco tiene las (N−1) filas inferiores para maniobrar. Tras la columna 1, un área (N−1)×(N−1). La zona de trabajo encoge con elegancia.
Podrías alternar (fila 1, columna 1, fila 2, columna 2, ...), pero el ritmo natural es hacerlas por pares en el exterior y recursionar.
La recursión
Cuando la fila 1 y la columna 1 están hechas, el (N−1)×(N−1) restante contiene fichas que deben ir a una configuración objetivo distinta — misma secuencia numérica, otras posiciones. La buena noticia: al método le da igual. Resuelve la nueva fila superior, la nueva columna izquierda y recursiona. Tarde o temprano llegas a un caso base 2×2 o 3×3.
Para el caso base 3×3, las últimas tres fichas se ciclan en su sitio con movimientos sueltos. Para un caso base 2×2 (que puede salir al final de puzzles grandes), igual.
Por qué funciona a cualquier tamaño
La familia de los deslizantes tiene una propiedad recursiva útil: resolver una fila-y-columna reduce el puzzle a un puzzle más pequeño del mismo tipo. La matemática es directa. Tras colocar N fichas en la fila 1 (y no tocarlas nunca más), el juego restante vive en una cuadrícula de (N−1) de ancho a la que le falta una fila. Tras colocar la columna izquierda, vive en (N−1)×(N−1).
La reducción se aplica en cada paso. El 6×6 se reduce a 5×5, que a 4×4, que al final 3×3. El final 3×3 es el único con técnica especial; lo demás se reduce a él.
Esa estructura recursiva es por qué los deslizantes se usan tanto en cursos de programación para enseñar divide y vencerás. La demostración de corrección cabe en un párrafo; la implementación es el cuerpo del algoritmo.
A qué velocidad llegas
Un solucionador novel, aplicando este método al pie de la letra:
En unas cuantas partidas por tamaño, esos tiempos se reducen a la mitad. El método es el mismo; es solo memoria muscular de la maniobra de esquina.
Para qué no sirve este método
Soluciones óptimas. Un ordenador con un solucionador de verdad encontrará secuencias 30–50 % más cortas que el método fila-y-columna. Los humanos no podemos ejecutar esos algoritmos en la cabeza.
Speedsolving competitivo. Los mejores velocistas humanos usan el método como base pero recortan agresivamente, haciendo colocaciones parciales que luego deshacen. Más rápido, pero más difícil de aprender.
Para todos los demás — el método fila-y-columna es el método.